[Algorithm]최소 신장 트리(MST, Minimum Spanning Tree)

[알고리즘] 최소 신장 트리(MST, Minimum Spanning Tree)

Spanning Tree

MST

Spanning Tree란

그래프 내의 모든 정점을 포함하는 트리

• Spanning Tree = 신장 트리 = 스패닝 트리
• Spanning Tree는 그래프의 최소 연결 부분 그래프이다.
  • 최소 연결 👉 간선 수가 가장 최소
  • n개의 정점을 가지는 그래프의 최소 간선의 수는(n-1)개이고, (n-1)개의 간선으로 연결되어 있으면 필연적으로 트리형태가 되고 이것이 바로 Spanning Tree가 된다.
  • 즉, 그래프에서 일부 간선을 선택하여 만든 트리

Spanning Tree의 특징

• DFS/BFS를 이용하여 그래프의 신장 트리를 찾을 수 있다.
  • 탐색 도중에 사용된 간선만 모으면 만들 수 있다.
• 하나의 그래프에 많은 신장트리가 존재할 수 있다.
• Spanning Tree는 트리의 특수한 형태이므로 모든 정점들이 연결 되어 있어야 하고, 사이클을 포함해서는 안된다.
• 따라서 Spanning Tree는 그래프에 있는 n개의 정점을 정확히 (n-1)개의 간선으로 연결한다.

Spanning Tree의 사용 사례

• 통신 네트워크 구축
  • 회사 내에서 모든 전화기를 가장 적은 수의 케이블을 사용하여 연결 하는 경우
  • n개의 위치를 연결하는 통신 네트워크를 최소 링크(간선)을 이용하여 구축하고자 하는 경우, 최소 링크의 수는 (n-1)개가 되고, 따라서 Spanning Tree가 가능해진다.

🌲 최소 신장 트리(MST)란

• Spanning Tree 중에서 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 트리

  MST = Minimum Spanning Tree = 최소 신장 트리

  각 간선의 가중치가 동일하지 않을 때 단순히 가장 적은 간선을 사용한다고 해서 최소 비용이 얻어지는 것이 아니다.

  MST는 간선에 가중치를 고려하여 최소 비용의 Spanning Tree를 선택하는 것을 말한다.

• 네트워크(가중치 간선에 할당한 그래프)에 있는 모든 정점들을 가장 적은 수의 간선과 비용으로 연결하는 것이다.

MST의 특징

1. 간선의 가중치의 합이 최소여야 한다.
2. n개의 정점을 가지는 그래프
3. 사이클이 포함되어서는 안된다.

MST의 사용 사례

통신망, 도로망, 유통만에서 길이, 구축 비용, 전송시간 등을 최소로 구축하는 경우

🤓 MST의 구현 방법

Kruskal MST 알고리즘

탐욕적인 방법(greedy method)을 이용하여 네트워크(가중치를 간선에 할당한 그래프)의 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는 최적 해답을 구하는 것.

• MST가 최소 비용의 간선으로 구성됨/ 사이클이 포함되지 않음

  👉 각 단계에서 사이클을 이루지 않는 최소 비용 간선을 선택한다.

• 간선 선택을 기반으로 하는 알고리즘이다.

• 이전 단계에서 만들어진 신장트리와 상관없이 무조건 최소 간선만을 선택하는 방법이다.

과정

1. 그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬한다.
2. 정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선을 선택한다.
   • 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.
   • 사이클을 형성하는 간선을 제외한다.
     • Union-Find 알고리즘을 통해 찾는다
3. 해당 간선을 현재의 MST(최소 비용 신장 트리)의 집합에 추가한다.

🔗 관련 문제

• 최소 스패닝 트리
• 네트워크 연결